El propósito de este documento, es establecer lo más conocido y más aceptado sobre
los procedimientos de análisis no-lineal de estructuras, como parte de las asignaciones
de la materia Análisis estructural no-lineal.
Existen muchos procedimientos de análisis numéricos para simplificar los cálculos para
el análisis no-lineal de estructuras, y como tales, son una aproximación, in embargo, el
error es lo suficientemente pequeño, para que los métodos sean aceptables.
El tema es parte del estudio de la dinámica de las estructuras, aspecto muy importante
en la investigación de la respuesta de las estructuras a las solicitaciones accidentales
que típicamente son el viento y el sismo.
Este documento es parte de las asignaciones de la segunda fase del programa de
estudios de Doctorado en Ciencias con énfasis en Ingeniería Estructural.

Descripción:
Este documento contiene la investigación realizada sobre los procedimientos de
análisis no-lineal de estructuras, estableciendo primeramente, los aspectos teóricos y
seguidamente, los análisis con los comentarios correspondientes.
Para los efectos antes descritos, se ha consultado muchos textos y artículos técnicos
sobre el tema, los que fueron tomados en cuenta para escribir este reporte.
El tema es el análisis no-lineal de estructuras, el que a su vez es parte del estudio del
comportamiento dinámico de estructuras, solo que considerando su respuesta cuando
estas hacen incursiones en el rango plástico debido a altas deformaciones provocadas
por excitaciones accidentales, tales como sismos o explosiones en la vecindad. Para
esto, se describe lo que es el comportamiento elásto-plástico y se correlaciona con los
procedimientos de análisis. Toda la investigación y el estudio presentado en este
reporte, se ha hecho con modelos de un grado de libertad, para facilitar el desarrollo
de los procedimientos de análisis.
Finalmente se complementa todo el estudio y la investigación contenida en este
documento, con casos de análisis, los cuales son discutidos y comentados.

Respuesta no lineal:
Cuando se estudia el comportamiento dinámico de sistemas de un grado de libertad,
asumimos lo siguiente:
• La fuerza de restauración es proporcional al desplazamiento
• Hay disipación de energía a través de un mecanismo de amortiguamiento
viscoso proporcional a la velocidad.
• La masa en el modelo, no cambiará en el tiempo
Y como consecuencia de lo asumido, las ecuaciones de movimiento del sistema,
resultan de una ecuación diferencial de segundo orden:
t F ) = ym && + y c & + ky
(
Sin embargo hay situaciones físicas en la realidad, para las cuales este modelo lineal,
no representa adecuadamente las características dinámicas de la estructura, y en esos
casos se requiere el uso de un modelo en el que la fuerza del resorte o la fuerza de
amortiguamiento, podría no mantenerse proporcional a los desplazamientos o a la
velocidad respectivamente, resultando ecuaciones no lineales y con soluciones
matemáticas mucho más complejas, que frecuentemente requieren de procedimientos
numéricos.10
Toda estructura real, cuando está sujeta a cargas o desplazamientos, se comporta
dinámicamente. Si las cargas o los desplazamientos se aplican muy suavemente,
entonces las fuerzas inerciales se pueden despreciar y un análisis de carga estática se
puede justificar, de aquí, que el análisis dinámico es una simple extensión del análisis
estático. 13

...

Lo que tiene dos significativas aproximaciones:
1. La aceleración varía linealmente con .t
2. Las propiedades de amortiguamiento y rigidez del sistema, se evalúan al
inicio del intervalo y se mantienen constantes durante .t
Estas aproximaciones introducen error que tiende a acumularse en cada intervalo de
tiempo .t. Este error acumulado debe de evitarse imponiéndole una condición de
equilibrio total dinámico al sistema, en cada pase del análisis.10 Para lograr esto, se
expresa la aceleración, en cada paso, mediante la ecuación diferencial de movimiento,
donde los desplazamientos y la velocidad, así como las fuerzas de rigidez y
amortiguamiento, son evaluadas para cada paso o intervalo de tiempo .t.
Para la selección apropiada del incremento de tiempo .t, debe de tomarse en cuenta
lo siguiente:
1. Período natural de la estructura.
2. Tasa de variación de la función de carga
3. Complejidad de las funciones de rigidez y amortiguamiento.
En general, se han obtenido resultados lo suficientemente precisos con intervalos no
mayores de 1/10 del período natural de la estructura y/o el intervalo deberá ser lo

suficientemente pequeño para representar apropiadamente la variación de carga en
función del tiempo, así como cualquier variación brusca en la tasa de cambio de las
funciones de rigidez y amortiguamiento.
Comportamiento Elásto-plástico:
En cualquier estructura cediendo plásticamente, la fuerza de restauración ejercida,
tendrá una porción lineal o elástica hasta alcanzar el límite donde para cualquier
deformación adicional, la cadencia plástica ocurre.
Al inicio, cuando la carga es aplicada, el sistema se comporta elásticamente, esto es:
RT
y = cuando está en tracción Ec. 29
i
k
RC
y = cuando está en compresión Ec. 30
i
k
Lo que representado en términos del rango elástico es y <y < y y que en forma
CT
gráfica se muestra en el diagrama.

Cuando se incrementa la deformación hasta yT, el sistema comienza a comportarse
plasticamente, y así estará mientras y & > 0 . Cuando y & < 0 , el sistema se invierte a
comportamiento elástico de nuevo, en el que los nuevos puntos de cedencia son:

...

encuentra en estado elástico.
El procedimiento anterior, convierte las ecuaciones de movimiento a una simple
forma, la cual es resuelta incremental y algebraicamente, obteniendo respuesta con un
error para el sistema no lineal. Las diferencias obtenidas entre las fuerzas para los
elementos no lineales obtenidas de la solución algebraica y de las fuerzas obtenidas
directamente del modelo, se llama fuerzas desbalanceadas, para lo que es posible usar
otros métodos para minimizar el error, siendo el más conocido el método iterativo de
Newton-Raphson4. Esta fuerza desbalanceada se suma a la fuerza ejercida al inicio de
cada paso, para el análisis. Procedimientos simplificados de análisis no lineal, para
estimar la respuesta de edificios bajo la acción de sismos, pueden realizarse con un
modelo de un grado de libertad representativo de estructuras con múltiples grados de
libertad, haciendo los elementos de equivalencia.7


Comentarios sobre el modelo analizado:
El modelo de un grado de libertad es analizado con el propósito de desarrollar una
hoja de cálculo. El modelo fue extraído de un ejemplo mostrado en el texto de Mario
10
Paz y William Leigh (2004) “Structural Dynamics” 5º edición con el que se
compararon los resultados.
Como se aprecia en la gráfica de respuesta, la estructura se comporta elásticamente
desde el inicio de la excitación, aplicada directamente a la masa, hasta que la fuerza
aplicada alcanza el valor F= 17.78 Kips en t=0.40 segundos cuando la estructura se
empieza a comportar plásticamente. La carga sigue aumentando y la estructura se
mantiene en el rango plástico perfecto hasta t=0.9seg. En t=1.0seg. la estructura de
nuevo entra en el estado elástico. Obsérvese que entre t=0.9 seg. Y t=1.0 seg, la
velocidad tiene un intercepto en el eje horizontal, es decir un cero, y como
consecuencia, ese punto representa un máximo en la deformación, a partir del cual la
estructura empieza a revertir su deformación, por lo que inicia en ese momento otra
etapa en estado elástico.
La carga sigue su aplicación y se mantiene en estado elástico hasta t=1.5 seg, cuando
de nuevo la velocidad intercepta entre t=1.4 seg y t=1.5 seg, el eje horizontal,
alcanzando otro máximo en la dirección contraria, y así sucesivamente. La excitación
tiene 1.4 seg de duración, sin embargo la estructura queda vibrando y se mantendrá
vibrando hasta que toda la energía se haya disipado. Esta disipación de energía se
aprecia en el modelo matemático con la intervención del amortiguamiento viscoso,
que en este caso de análisis es 8.7% del amortiguamiento crítico de la estructura. Esta
disipación de la energía puede observarse gráficamente al tirar una envolvente en la
curva de los desplazamientos, donde se podrá apreciar la reducción o
amortiguamiento de cada ciclo histerético.

Sensibilidad de los sistemas no lineales:
El diseño en ingeniería, frecuentemente toma en cuenta la no linealidad del
comportamiento del sistema lo que incluye, el material, la geometría y las condiciones
frontera del sistema no-lineal. La no-linealidad de los materiales es debido a la
relación entre los esfuerzos y las deformaciones, incluyendo la elasticidad,
hiperelasticidad y elastoplasticidad.8
Relación entre la energía de la carga y los daños en las estructuras:
El daño en las estructuras debido a movimientos sísmicos es causado por la fatiga de
los materiales y las deformaciones de los elementos que componen la estructura. Este
daño asociado a la fatiga, se relaciona con la energía disipada durante el sismo.12
Cualquier método de diseño que pretenda controlar los daños, debe de tener en
cuenta las deformaciones y la energía plástica que la estructura pueda disipar.
En el pasado, algunas estructuras diseñadas para un buen desempeño bajo
condiciones de carga normal, estaban en capacidad de dar una respuesta apropiada
aún bajo condiciones de carga anormales. Esto se debió en parte, a la resistencia
inherente y la continuidad de las más tradicionales formas en la ingeniería usadas
antes.18 Recientes avances en la eficiencia de los materiales de construcción y sistemas
innovadores así como los refinamientos en las técnicas de análisis han dado como
resultado, estructuras con muy poco margen de seguridad. Desde un punto de vista
analítico, el colapso progresivo ocurre cuando una estructura tiene un patrón de carga
que ha cambiado alcanzando sus condiciones frontera de tal suerte que algunos
elementos estén cargados más allá de su capacidad y fallen, provocando con la falla,
una redistribución de las cargas, lo que lleva a una sobrecarga de otros elementos que
estarán ahora cargados más allá de su capacidad, presentándose un escenario de tipo
cascada, como el que pudo apreciarse con las torres del The World Trade Center en

New York, el 11 de Septiembre del 2001, aún cuando las conclusiones finales respecto
al colapso general siguen en estudio.18
A continuación presento la propuesta del Dr. Miguel Cruz y Dr. Oscar López (2001)12,
sobre un procedimiento de cálculo para determinar la energía plástica que puede
disipar una estructura durante un sismo: La energía de entrada a la estructura, se basa
en el desplazamiento relativa de la misma y representa el trabajo realizado por una
fuerza lateral equivalente como consecuencia del movimiento sísmico. La energía
relativa de entrada a la estructura se define por:
Ei = -. du um Ec. 34
&&g
Donde m es la masa, u&&g es la aceleración del suelo y u es el desplazamiento relativo.
La energía de entrada del sismo, puede aceptarse que es independiente de los
parámetros del sistema. El amortiguamiento viscoso, la ductilidad y la resistencia
tienen un efecto menor en la energía de entrada. Esto significa, que
independientemente que la relación fuerza-deformación sea elásto-plástica, bi-lineal,
con o sin degradación de rigidez, la energía de entrada permanece más o menos
constante. En las estructuras de varios grados de libertad la energía de entrada puede
ser calculada a través de los espectros de energía obtenidos en estructuras de un solo
grado de libertad. Al final del sismo toda la energía de entrada debe de haber sido
disipada por la estructura a través de los mecanismos de disipación en el rango
elástico como el amortiguamiento viscoso, o de los mecanismos de disipación en el
rango plástico. La energía plástica Ep, se define en consecuencia, como aquella
energía absorbida por la estructura que es utilizada para deformar el material en el
rango plástico, determinada por: 18
EP =. Fdu Ec. 35
P

Donde F es la fuerza elástica de restitución y UP es el componente plástico de
desplazamiento relativo y la energía plástica normalizada como:
E
E / E Ec. 36
=
PN
P
E
Y representa la porción de la energía de entrada que es disipada por deformaciones
plásticas. La energía plástica es calculada en términos de la potencia media
normalizada del sismo NP y que incorpora las características más importantes del
movimiento sísmico (energía de entrada y duración) y de la estructura (período
fundamental, resistencia y amortiguamiento)
...

Donde CY es el coeficiente sísmico a nivel cedente, el cual representa la resistencia
normalizada de la estructura, definido como la fuerza cedente lateral divido por el
peso; T es el período de la estructura; g es la constante de aceleración de la gravedad;
.
es el coeficiente de amortiguamiento relativo y . es la frecuencia natural de la
estructura. El término ED/T es la potencia media disipada por amortiguamiento en el
rango elástico, dado por la energía disipada por el amortiguador viscoso durante un
ciclo de oscilación libre iniciado desde el desplazamiento cedente, dividida entre el
período de la estructura. 12
Durante los sismos, la energía fluye del suelo a las estructuras y estas deben disiparla
mediante los mecanismos de amortiguamiento en el rango elástico y mediante las
deformaciones plásticas, las cuales son las responsables de los daños en la estructura.
La energía plástica que puede disipar una estructura, es un parámetro importante en
las nuevas tendencias para el diseño de estructuras en zonas de elevada amenaza
sísmica. 12

Análisis general:
En los Códigos actuales de diseño sísmico, se acepta para el análisis el uso de métodos
análisis estáticos o dinámicos, sin embargo, estos tipos de análisis pueden ser
insuficientes para describir el comportamiento real de las estructuras ante fuerzas
dinámicas como las producidas por los sismos intensos que definen las acciones de
diseño, consecuentemente, es necesario practicar un análisis no-lineal con
aproximación numérica. Estos análisis son similares a los análisis de repuesta histórica
lineal y solo difieren en que en el caso del análisis no-lineal, el modelo matemático es
formulado de tal forma, que las rigideces y aún la conectividad de los elementos
puede ser directamente modificada debido a las deformaciones de la estructura.14
En los casos de edificios con irregularidades, ya sea en sus plantas o a lo largo de su
altura, este análisis es aún más importante, debido a las excentricidades producto de
las irregularidades de la estructura, de las que resultan torsiones importantes que
deben ser evaluadas.1 Para efectos prácticos de la evaluación, existen muchos
métodos propuestos, algunos de los cuales, usan modelos equivalentes de un grado de
libertad para representar estructuras con múltiples grados de libertad7 o
aproximaciones de modelos en el plano, para representar estructuras espaciales1, 11 , lo
que ha facilitado el análisis y evaluación de las deformaciones de las estructuras, sobre
todo tomando en cuenta las irregularidades cuyos efectos pueden ser
significativamente determinantes de la capacidad final de la estructura.

Discusiones:
Los métodos de análisis no lineal, permiten encontrar los efectos de la cedencia de los
elementos, el pandeo y otros comportamientos no-lineales en la respuesta de la
estructura que deben de ser tomados en cuenta en el análisis. Permite adicionalmente,
la evaluación del comportamiento no-lineal de las cimentaciones, aberturas del
sistema, juntas y el amortiguamiento viscoso. Potencialmente, los métodos de análisis
no-lineal toman en cuenta directamente esas no-linealidades del sistema, lo que
permite una bastante precisa predicción de la respuesta de la estructura en los
movimientos fuertes del suelos, sin embargo, esta precisión es raramente alcanzada en
la práctica, debido parcialmente a que el modelo no-lineal puede solo aproximarse al
comportamiento real de la estructura. Otra limitante es que pequeñas desviaciones en
los movimientos del suelo, o aún en el comportamiento histerético de los elementos
del sistema, pueden dar como resultado, significativas diferencias en los
desplazamientos pronosticados.14
Por las razones anteriormente expuestas, cuando el análisis no-lineal es practicado
como parte del proceso de diseño, deberá de considerarse diferentes juegos de
movimientos del suelo en función del tiempo, tal como lo recomienda el NERHP 14.
También será muy apropiado y hasta oportuno, desarrollar estudios de sensibilidad,
en los cuales, las propiedades histeréticas de los elementos asumidas, puedan variar,
para permitir la evaluación de los efectos de esas incertidumbres en la predicción de la
respuesta.8
Análisis estocásticos de la estabilidad, para efectos de sensibilizar esas variables, son
también muy usados especialmente en aquellos casos cuyas características demandan
estudios muy a fondo de la respuesta de la estructura.22

Conclusión:
Las estructuras que están en riesgo de ser sometidas a cargas anormales de orden
accidental, tal como los sismos o explosiones en la vecindad de las mismas, están
sujetas a riesgo de incursionar en el rango plástico. Ante este tipo de excitaciones, la
estructura se deforma disipando la energía de movimiento sísmico o del evento que
produjo las deformaciones de la estructura, parte de la energía es absorbida por la
estructura a través de los mecanismos de disipación elásticos, como el
amortiguamiento viscoso, pero otra parte es absorbida por los mecanismos de
disipación de energía plástica, que es la responsable de los daños estructurales. 12
Un análisis no-lineal de la estructura es importante para poder predecir la cantidad de
deformación probable y existen métodos de análisis para determinar la cantidad de
energía plástica que la estructura es capaz de disipar. 12
Existen también varios métodos de análisis numérico para calcular la respuesta no-
lineal de las estructuras, siendo el más usado, el método “paso a paso” con
aceleración lineal.
4, 6, 7, 10, 13, 14, 19, 20, 21
Se presenta en este documento, una hoja de
cálculo desarrollada para realizar análisis numérico de respuesta no-lineal o
comportamiento elásto-plástico de las estructuras para un grado de libertad.
La predicción de posible colapso progresivo, o efecto cascada, bajo condiciones
específicas, podría proveer de mucha información importante que podría ser usada
para controlar o prevenir colapsos progresivos. Para esto, es recomendable el análisis
no-lineal con posibles escenarios de carga anormales. 18

Bibliografía:
1. A. Gustavo Ayala, Elias A. Tavera, Mauricio Ayala (2002). Método simplificado
de evaluación sísmica de edificios asimétricos.
Revista de Ingeniería Sísmica, Nº 67, México, D. F., México
2. Andrés E. Carlson (1999). Three dimensional nonlinear inelastic analysis of steel
moment-frame buildings damaged by earthquake excitations
Reporte técnico Nº EERL-99-02, Earthquake Engineering Research Laboratory,
California Institute of Technology, Pasadena, Ca., U. S. A.
3. Applied Technology Council (2005). Improvement of Nonlinear static seismic
analysis procedures
Federal Emergency Management Agency, Washinton, D. C., U. S. A.
4. Beris Erkus (2004). Comparison of the techniques used in the Newmark analysis
of nonlinear structures.
17th ASCE Engineering mechanics Conference, University of Delaware, Newark,
Delaware, U. S. A.
5. Dimitros Vamvatsikos, C. A. Cornell, (2002). The incremental dynamic análisis
and its applications to performance based earthquake engineering
12th European Conference on Earthquake Engineering, Elsevier Science Limited,
Oxford, U. K.
6. Keejoo Lee, Chin-Tien Wu, Sung W. Lee (2001). Geometrically nonlinear
analysis of a lightweight composite space reflector using solid shell elements
based on the assumed strain formulations.
University of Maryland College park, U.S.A.

7. Kenjii Fujii, Yoshiaki Nakano, Yasushi Sanada (2004). A simplified nonlinear
analysis procedure for a single-story asymmetric buildings
Journal of Japan Association for Earthquake Engineering, Vol 4, Nº 2, Japan.
8. Kyung K. Choi, Nam Ho Kim (2005). Structural sensitivity analysis and
optimization 2. Nonlinear systems.
Springer Science+bussines Media, Inc. New York, U. S. A.
9. M. V. Silvaselvan, A. M. Reinhorn (2003). Nonlinear structural analysis towards
collapse simulation. A dynamical systems approach.
Technical report MCEER. Structural and Environmental Engineering, University
at Buffalo, Buffalo, NY, U. S. A.
10. Mario Paz, William Leigh (2004). Structural Dynamics
5ª edición. Kluwer Academic Publishers Group. Norwell, Massachusetts, U. S. A.
11. Michael Mehrain, M. Eeri, Farzad Naeim (2003). “Exact” Three dimensional
linear and nonlinear seismic analysis of structures with two dimensional models
Earthquake Spectra, Vol. Nº 19, Nº 4, Earthquake Engineering Research
Institute, Los Angeles, Ca., U. S. A.
12. Miguel F. Cruz, Oscar A, López (2001). Determinación de la energía plástica que
puede disipar una estructura durante un terremoto
Revista Tecnología y Construcción, Vol. 17, Mérida, Venezuela
13. N. R. B. Krshnam Raju, J. Hagabhushanam (2000). Nonlinear analysis using
integrated force method.
Sadharia, Vol. 25, parte 4, India

14. NEHRP Committee (2003). Structural analysis procedures
National Earthquake Hazard Reduction Programs, NEHRP agencies, U. S. A.
15. Nicolas Luco, Yasuhito Mori, Yosuke Funahashi, C. Allin Cornell, Masayoshi
Nakashima (2003). Evaluation of predictors of nonlinear seismic demands using
“fishbone” models of SMRF buidings.
Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Stanford University, Ca.
U.S.A.
16. P. Tothong, C. A. Cornell (2005). Application of nonlinear static analysis to
probabilistic seismic demand analysis
Stanford University, Ca. U. S. A.
17. Richard C. Dove (2001). Nonlinear dynamic response and failure mechanisms of
intake towers.
Research and Development Center, U. S. Army Corps. Of Engineers, Vicksburg
MS. U. S. A.
18. Robert L. Hall, Stanley C. Woodson, James T. Baylot, John R. Hayes, Young
Sohn (2002). Development of progressive collapse analysis procedure and
condition assessment for structures.
U.S. Army Engineer Research and Development Center, Vickburg, MS, U. S. A
19. Seminar (2006). Dynamic analysis
Nº 12, C. S. I. Educational services, Berkeley, Ca. U. S. A.
20. Seminar (2006). Dynamic analysis by numerical integration
Nº 20, C. S. I. Educational Services, Berkeley, Ca. U. S. A.

21. Steven C. Chapra, Raymond P. Canale (2003). Métodos numéricos para
ingenieros.
4º edición, McGraw Hill Interamericana Editores, S. A. de C. V., México, D.F.,
México
22. Thomas Most, Christian Bucher (2002). Stochastic dynamic analysis of nonlinear
structures.
Institute of Structural mechanics, Bauhaus Universität, Weimar, Alemania
 

Resto del documento disponible para descarga...